Question

【題目】已知函數f（x）=a|log2x|+1（a≠0），定義函數F（x）= ，給出下列命題：
①F（x）=|f（x）|；
②函數F（x）是偶函數；
③當a＜0時，若0＜m＜n＜1，則有F（m）﹣F（n）＜0成立；
④當a＞0時，函數y=F（x）﹣2有4個零點．
其中正確命題的個數為（ ）
A.0
B.1
C.2
D.3

Answer 1

【答案】D
【解析】解：（1）∵函數f（x）=a|log2x|+1（a≠0），定義函數F（x）= ，
∴|f（x）|=|a|log2x|+1|，∴F（x）≠|f（x）|；
①不對
2）∵F（﹣x）= =F（x）
∴函數F（x）是偶函數；
故②正確
3）∵當a＜0時，若0＜m＜n＜1，
∴|log2m|＞|log2n|
∴a|log2m|+1＞a|log2n|+1，
即F（m）＜F（n）成立；
故F（m）﹣F（n）＜0成立；
所以③正確
4）

∵f（x）=a|log2x|+1（a≠0），定義函數F（x）= ，
∴x＞0時，（0，1）單調遞減，（1，+∞）單調遞增
∴x＞0時，F（x）的最小值為F（1）=1，
故x＞0時，F（x）與y=﹣2有2個交點，
∵函數F（x）是偶函數
∴x＜0時，F（x）與y=﹣2有2個交點
故當a＞0時，函數y=F（x）﹣2有4個零點．
所以④正確，
【考點精析】利用函數的偶函數和函數奇偶性的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一般地，對于函數f(x)的定義域內的任意一個x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函數；在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇．