Question

4．△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C，若$\frac{\sqrt{3}cosA+sinA}{\sqrt{3}sinA-cosA}$=tan（-$\frac{7}{12}$π），則tanA=1．

Answer 1

分析 由同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用可得$\frac{\sqrt{3}+tanA}{1-\sqrt{3}tanA}$=tan$\frac{7π}{12}$，利用兩角和的正切函數(shù)公式可得tan（A+$\frac{π}{3}$）=tan$\frac{7π}{12}$，結(jié)合角A的范圍可求A，即可得解tanA的值．

解答 解：$\frac{\sqrt{3}cosA+sinA}{\sqrt{3}sinA-cosA}$
=$\frac{2（\frac{\sqrt{3}}{2}cosA+\frac{1}{2}sinA）}{2（\frac{\sqrt{3}}{2}sinA-\frac{1}{2}cosA）}$
=$\frac{sin\frac{π}{3}cosA+cos\frac{π}{3}sinA}{sin\frac{π}{3}sinA-cos\frac{π}{3}cosA}$
=$\frac{sin（\frac{π}{3}+A）}{-cos（\frac{π}{3}+A）}$
=-tan（$\frac{π}{3}$+A）
∵$\frac{\sqrt{3}cosA+sinA}{\sqrt{3}sinA-cosA}$=tan（-$\frac{7}{12}$π），
即：-tan（$\frac{π}{3}$+A）=tan（-$\frac{7}{12}$π），
-tan（$\frac{π}{3}$+A）=-tan$\frac{7}{12}$π，
tan（$\frac{π}{3}$+A）=tan$\frac{7}{12}$π，
∵$\frac{π}{3}$＜$\frac{π}{3}$+A＜$\frac{4π}{3}$
∴$\frac{π}{3}$+A=$\frac{7}{12}$π
∴A=$\frac{π}{4}$
∴tanA=1
故答案為1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用，兩角和的正切函數(shù)公式，正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．