Question

15．已知橢圓的兩焦點(diǎn)是F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），離心率e=$\frac{1}{2}$．
（1）求橢圓方程；
（2）若P在橢圓上，且|PF₁|-|PF₂|=1，求cos∠F₁PF₂．

Answer 1

分析 （1）由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），可得c=1，$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，又a²=b²+c²，解得即可得出．
（2）由|PF₁|-|PF₂|=1，|PF₁|+|PF₂|=4，聯(lián)立解得|PF₁|，|PF₂|．在△PF₁F₂中，由余弦定理可得：cos∠F₁PF₂=$\frac{|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}-|{F}_{1}{F}_{2}{|}^{2}}{2|P{F}_{1}||P{F}_{2}|}$，即可得出．

解答 解：（1）由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），
∵橢圓的兩焦點(diǎn)是F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），離心率e=$\frac{1}{2}$．
∴c=1，$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，又a²=b²+c²，解得a=2，b²=3．
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（2）∵|PF₁|-|PF₂|=1，|PF₁|+|PF₂|=4，
聯(lián)立解得|PF₁|=$\frac{5}{2}$，|PF₂|=$\frac{3}{2}$．
在△PF₁F₂中，由余弦定理可得：cos∠F₁PF₂=$\frac{|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}-|{F}_{1}{F}_{2}{|}^{2}}{2|P{F}_{1}||P{F}_{2}|}$=$\frac{（\frac{5}{2}）^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}-{2}^{2}}{2×\frac{5}{2}×\frac{3}{2}}$=$\frac{3}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、余弦定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．