Question

2．已知等差數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，其公差為2，a₂a₄=4a₃+1．
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求a₁+a₃+a₉+…+${a}_{{3}^{n}}$．

Answer 1

分析 （1）由已知列出關(guān)于公差的方程解之，求出通項(xiàng)公式；
（2）結(jié)合（1）的結(jié)論得到${a}_{{3}^{n}}$的通項(xiàng)公式，注意n≥0，利用分組求和解答．

解答 解：（1）等差數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，其公差為2，a₂a₄=4a₃+1．所以（a₁+2）（a₁+6）=4a₁+17，解得a₁=5或者-1（舍去）．
所以{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=2n+3；
（2）由（1）得到${a}_{{3}^{n}}$=2×3ⁿ+3，所以a₁+a₃+a₉+…a${\;}_{{3}^{n}}$=3（n+1）+2×$\frac{1-{3}^{n+1}}{1-3}$=3n+$\frac{5}{2}$+$\frac{1}{2}×{3}^{n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法以及利用分組求和解決數(shù)列求和問題；屬于中檔題．