Question

12．若過點P（-3，3）且傾斜角為$\frac{5}{6}$π的直線交曲線$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosφ}\\{y=3sinφ}\end{array}\right.$于A、B兩點，則|AP|•|PB|=$\frac{324}{31}$．

Answer 1

分析 根據(jù)直線的參數(shù)方程的特征及參數(shù)的幾何意義，寫出直線的參數(shù)方程．設點A，B的坐標分別為A（-3-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t₁，3+$\frac{1}{2}$t₁），B（2-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t₁，3+$\frac{1}{2}$t₁）．把直線l的參數(shù)方程代入圓的橢圓的方程4x²+y²=16整理得到9x²+4y²=36整理得到31t²+（108$\sqrt{3}$+48）t+324=0，由根與系數(shù)的關系及t的幾何意義可知|PA||PB|=|t₁||t₂|，從而求得結果．

解答 解：直線l經(jīng)過點P（-3，3），傾斜角為$\frac{5}{6}$π，故直線的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=-3-\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=3+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t是參數(shù)）．
因為點A，B都在直線l上，所以可設它們對應的參數(shù)為t₁和t₁，則點A，B的坐標分別為A（-3-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t₁，3+$\frac{1}{2}$t₁），B（2-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t₁，3+$\frac{1}{2}$t₁）．
把直線l的參數(shù)方程代入橢圓的方程9x²+4y²=36整理得到31t²+（108$\sqrt{3}$+48）t+324=0①，
因為t₁和t₂是方程①的解，從而t₁t₂=$\frac{324}{31}$，
由t的幾何意義可知|PA||PB|=|t₁||t₂|=$\frac{324}{31}$．
故答案為：$\frac{324}{31}$．

點評 本題主要考查直線的參數(shù)方程，以及直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，直線和圓的位置關系的應用，屬于基礎題．