Question

如圖，梯形ABCD中，BA⊥AD，CD⊥AD，AB＝2，CD＝4，P為平面ABCD外一點(diǎn)，平面PAD⊥平面ABCD，△PBC是邊長(zhǎng)為10的正三角形，求平面PAD與面PBC所成的角．

Answer 1

答案：
解析：

解法一：如圖，延長(zhǎng)DA、CB交于E，＝＝，∴AB是△ECD的中位線，CB＝BE＝10．又△PCB為正△，易證△PCE為直角三角形，PE⊥PC．又平面PDA⊥平面ABCD，且CD⊥交線DA，∴CD⊥平面PDE．PE是PC在平面PDE內(nèi)的射影，∴PE⊥PD(三垂線定理的逆定理)．故∠CPD是D－PE－C的平面角．在Rt△CDP中，sin∠DPC＝＝，故二面角大小為arcsin． 　　 　　CD⊥平面PAD 　　△PAD是△PBC在平面PDA內(nèi)的射影．設(shè)面PDA與面PCB所成的二面角為，則S△PDA＝S△PCB·cos．Rt△PAB中，PA＝4＝AD；Rt△PDC中，PD＝2． 　　∴△PAD為等腰三角形且S△PAD＝PD·AH＝15． 　　cos＝＝＝， 　　＝arccos＝．