Question

（本題15分）設(shè)，對(duì)任意實(shí)數(shù)，記．

（I）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（II）求證：（ⅰ）當(dāng)時(shí)，對(duì)任意正實(shí)數(shù)成立；

（ⅱ）有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意正實(shí)數(shù)成立．

 

Answer 1

【答案】

（I）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，，

單調(diào)遞減區(qū)間是．

（II）當(dāng)時(shí)，對(duì)任意正實(shí)數(shù)成立．

（ⅱ）有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù)，

使得對(duì)任意正實(shí)數(shù)成立．

【解析】（I）解：．

由，得

．

因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，

故所求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，，

單調(diào)遞減區(qū)間是．

（II）證明：（i）方法一：

令，則

，

當(dāng)時(shí)，由，得，

當(dāng)時(shí)，，

所以在內(nèi)的最小值是．

故當(dāng)時(shí)，對(duì)任意正實(shí)數(shù)成立．

方法二：

對(duì)任意固定的，令，則

，

由，得．

當(dāng)時(shí)，．

當(dāng)時(shí)，，

所以當(dāng)時(shí)，取得最大值．

因此當(dāng)時(shí)，對(duì)任意正實(shí)數(shù)成立．

（ii）方法一：

．

由（i）得，對(duì)任意正實(shí)數(shù)成立．

即存在正實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意正實(shí)數(shù)成立．

下面證明的唯一性：

當(dāng)，，時(shí)，

，，

由（i）得，，

再取，得，

所以，

即時(shí)，不滿(mǎn)足對(duì)任意都成立．

故有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù)，

使得對(duì)任意正實(shí)數(shù)成立．

方法二：對(duì)任意，，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012051811062871874359/SYS201205181107451718420281_DA.files/image053.png">關(guān)于的最大值是，所以要使對(duì)任意正實(shí)數(shù)成立的充分必要條件是：

，

即，                 ①

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012051811062871874359/SYS201205181107451718420281_DA.files/image044.png">，不等式①成立的充分必要條件是，

所以有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù)，

使得對(duì)任意正實(shí)數(shù)成立．