Question

設(shè)點(diǎn)動(dòng)圓P經(jīng)過(guò)點(diǎn)F且和直線(xiàn)相切，記動(dòng)圓的圓心P的軌跡為曲線(xiàn)W。

（1）求曲線(xiàn)W的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)F作互相垂直的直線(xiàn)，分別交曲線(xiàn)W于A，B和C，D。求四邊形ABCD面積的最小值。

（3）分別在A、B兩點(diǎn)作曲線(xiàn)W的切線(xiàn)，這兩條切線(xiàn)的交點(diǎn)記為Q。

求證：QA⊥QB，且點(diǎn)Q在某一定直線(xiàn)上。

Answer 1

解：（1）過(guò)點(diǎn)P作PN垂直于直線(xiàn)于點(diǎn)N，依題意得

                                      

所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以為焦點(diǎn)，直線(xiàn)為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)。

即曲線(xiàn)W的方程是

（2）依題意，直線(xiàn)l₁,l­­_­2的斜率存在且不為0，

設(shè)直線(xiàn)l₁的方程為

由l₁⊥l₂得l­­_­2的方程為

將

 

設(shè)

∴

同理可得

∴四邊形ABCD的面積

當(dāng)且僅當(dāng)

故四邊形ACBD面積的最小值是72。

（3）由（1）知W的方程可化為

∴

∵QA的斜率

∴

∴QA⊥QB

QA的方程為

QB的方程為

解方程組

即Q（2k，）

當(dāng)k取任何非零實(shí)數(shù)時(shí)，點(diǎn)Q總在定直線(xiàn)y=上。