Question

【題目】已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.

（1）若， ，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若，且方程在內(nèi)有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）

【解析】【試題分析】（1）先求出函數(shù)解析式導(dǎo)數(shù)，再借助導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系求解；（2）依據(jù)題設(shè)先將問(wèn)題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，再構(gòu)造函數(shù)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系研究函數(shù)的圖像的形狀分析求解：

（1）若， ，則，

由，得或，

①若，即時(shí)， ，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，單調(diào)遞減區(qū)間為；

②若，即時(shí)，由，得；由得，或，

所以單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.

（2）若，∴， 則，

若方程在內(nèi)有解，即在內(nèi)有解，

即在有解.

設(shè)，則在內(nèi)有零點(diǎn)，設(shè)是在內(nèi)的一個(gè)零點(diǎn)，

因?yàn)?/span>， ，所以在和上不可能單調(diào)，

由，設(shè)，則在和上存在零點(diǎn)，

即在上至少有兩個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)?/span>，

當(dāng)時(shí)， ， 在上遞增，不合題意；

當(dāng)時(shí)， ， 在上遞減，不合題意；

當(dāng)時(shí)，令，得，則在上遞減，在上遞增，

在上存在最小值.

若有兩個(gè)零點(diǎn)，則有， .

所以， ，

設(shè)，則，令，得，

當(dāng)時(shí)， ，此時(shí)函數(shù)遞增；

當(dāng)時(shí)， ，此時(shí)函數(shù)遞減，

則，所以恒成立.

由， ，所以，

當(dāng)時(shí)，設(shè)的兩個(gè)零點(diǎn)為，

則在上遞增，在上遞減，在上遞增，

則， ，則在內(nèi)有零點(diǎn)，

綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.