Question

已知函數(shù)f(x)=x (

1

2x-1

+a)為偶函數(shù)．
（1）求實數(shù)a的值；
（2）當x∈[1，3]時，2f（x）-（

1

2

）^m•x＜0恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)偶函數(shù)的定義f（-x）=f（x）對定義域內(nèi)的任意x恒成立，列出恒等式，即可確定a的值；
（2）將f（x）的解析式代入不等式，利用參變量分離的方法，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值，再利用函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，即可求出m的取值范圍．

解答：解：（1）∵函數(shù)f(x)=x (

1

2x-1

+a)為偶函數(shù)，
由偶函數(shù)的定義可知，f（-x）=f（x）恒成立，
∴x（

1

2x-1

+a）=-x（

1

2-x-1

+a），
∴2a=-（

1

2x-1

+

1

2-x-1

）=1，
解得，a=

1

2

，
經(jīng)檢驗，a=

1

2

符合題意，
∴實數(shù)a的值為

1

2

．
（2）由（1）可知，f（x）=x(

1

2x-1

+

1

2

)，
由題意，當x∈[1，3]時，2f（x）-（

1

2

）^m•x＜0恒成立，
∴2x(

1

2x-1

+

1

2

)-(

1

2

)m•x＜0對x∈[1，3]恒成立，
∴(

1

2

)m＞2(

1

2x-1

+

1

2

)對x∈[1，3]恒成立，即（2(

1

2x-1

+

1

2

)）_max＜(

1

2

)m，
∵y=2(

1

2x-1

+

1

2

)在[1，3]上是減函數(shù)，
∴當x=1時，y=2(

1

2x-1

+

1

2

)取最大值為3，
∴(

1

2

)m＞3，解得m＜log

1

2

3，
∴m的取值范圍是m＜log

1

2

3．

點評：本題主要考查了函數(shù)的奇偶性、函數(shù)的單調(diào)性的應用，以及恒成立問題，對于恒成立問題，一般選用參變量分離的方法進行處理．本題屬于函數(shù)知識的綜合應用．屬于基礎題．