Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n,且方程x²-a_nx-a_n=0有一根為S_n-1,n=1,2,3,….

(1)求a₁,a₂;

(2)求{a_n}的通項公式.

Answer 1

解:(1)當(dāng)n=1時,x²-a₁x-a₁=0

有一根為S₁-1=a₁-1,

于是(a₁-1)²-a₁(a₁-1)-a₁=0,

解得a₁=.

當(dāng)n=2時,x²-a₂x-a₂=0

有一根為S₂-1=a₂-,于是(a₂-)²-a₂(a₂-)-a₂=0,

解得a₂=.

(2)由題設(shè)(S_n-1)²-a_n(S_n-1)-?a_n=0,

即S_n²-2S_n+1-a_nS_n=0.

當(dāng)n≥2時,a_n=S_n-S_n-1,代入上式得

S_n-1S_n-2S_n+1=0.          ①

由(1)知S₁=a₁=,

S₂=a₁+a₂=+=.

由①可得S₃=.

由此猜想S_n=,n=1,2,3,….

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個結(jié)論.

(ⅰ)n=1時已知結(jié)論成立.

(ⅱ)假設(shè)n=k時結(jié)論成立,即S_k=,

當(dāng)n=k+1時,由①得S_k+1=,

即S_k+1=,

故n=k+1時結(jié)論也成立.

綜上,由(ⅰ)(ⅱ)可知S_n=對所有正整數(shù)n都成立.

于是當(dāng)n≥2時,a_n=S_n-S_n-1=-=,

又n=1時,a₁==,

所以{a_n}的通項公式為a_n=,n=1,2,3,….