Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)在上的單調(diào)性；

（2）若存在，使得對恒成立，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）.

【解析】

（1）先對函數(shù)求導(dǎo)，然后根據(jù)的正負(fù)以及定義域，分類討論在上的單調(diào)性；

（2）對分類：，，，考慮每種情況下所滿足的不等式，并通過統(tǒng)一變量構(gòu)造新函數(shù)分析并求解出的最大值.

（1），

，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，由，得.

①當(dāng)時(shí)，

時(shí)，

函數(shù)在上單調(diào)遞增；

②當(dāng)時(shí)，，

時(shí)，為減函數(shù)，

時(shí)，為增函數(shù)；

綜上可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，

在上單調(diào)遞增.

（2）當(dāng)時(shí)，由，得對恒成立.

因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，不能使對恒成立；

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，由，

得，

設(shè)函數(shù)

則

令，可得，

時(shí)，為減函數(shù)，

時(shí)，為增函數(shù).

.

設(shè)

，解得

當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，為減函數(shù).

的最大值為.