Question

22.已知函數(shù)f（x）=ln（1+x）－x, g（x）=xlnx.

（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最大值；

（Ⅱ）設(shè)0<a<b,證明：0<g（a）+g（b）－2g（）<（b－a）ln2.

Answer 1

22.本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的基本性質(zhì)和應(yīng)用、對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)和平均值不等式等知識(shí)以及綜合推理論證的能力.

　解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋ǎ?,+∞）.

f′（x）=－1.

令f′（x）=0，解得x=0.

當(dāng)－1<x<0時(shí)，f′（x）>0,

當(dāng)x>0時(shí)，f′（x）<0.

又f（0）=0,故當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，f（x）取得最大值，最大值為0.

（Ⅱ）證法一：g（a）+g（b）－2g（）

=alna+blnb－（a+b）ln=aln+bln.

由（Ⅰ）結(jié)論知ln（1+x）－x<0（x>－1且x≠0）,

由題設(shè)0<a<b,得>0,－1<<0,

因此ln=－ln（1+）>－,

ln=－ln（1+）>－.

所以aln+bln>－－=0.

又<,

∴aln+bln<aln+bln

=（b－a）ln<（b－a）ln2.

綜上0<g（a）+g（b）－2g（）<（b－a）ln2.

證法二：g（x）=xlnx,g′（x）=lnx+1.

設(shè)　　F（x）=g（a）+g（x）－2g（）,

則　　F′（x）=g′（x）－2［g（）］′

 　　=lnx－ln.

當(dāng)0＜x＜a時(shí)，F′（x）＜0，因此F（x）在（0,a）內(nèi)為減函數(shù).

當(dāng)x>a時(shí)，F′（x）>0，因此F（x）在（a,+∞）上為增函數(shù).

從而，當(dāng)x=a時(shí)，F（x）有極小值F（a）,

因?yàn)?I>F（a）=0,b>a,所以F（b）>0,

即　　0<g（a）+g（b）－2g（）.

設(shè)　　G（x）=F（x）－（x－a）ln2,

則　　G′（x）=lnx－ln－ln2=lnx－ln（a+x）.

當(dāng)x>0時(shí)，G′（x）<0,因此G（x）在（0,+∞）上為減函數(shù).

因?yàn)?I>G（a）=0,b>a,所以G（b）<0,

即g（a）+g（b）－2g（）<（b－a）ln2.