Question

【題目】(1)若正整數(shù)n可以表示成)的形式，則稱(chēng)n為“好數(shù)”．試求與2的正整數(shù)次冪相鄰的所有好數(shù).(2) 試求不定方程的所有非負(fù)整數(shù)解

Answer 1

【答案】（1）9；（2）(1，0，0)，(1，1，0)，(2，1，0)，(3，2，0)，(4，l，1)，(2，0，1).

【解析】

(1)設(shè)所求的好數(shù)為n，

于是，存在正整數(shù)t (t>1)，使得顯然，為奇數(shù)．

若b為奇數(shù)，則 ①

而是奇數(shù)個(gè)奇數(shù)相加減的結(jié)果仍然是奇數(shù)，只可能是l，代入

式①得b=l，這與b≥2矛盾．

若b為偶數(shù)，則

若，則

所以，t=1．矛盾

若，

但，

故

綜上，所求的所有好數(shù)只有一個(gè)n=9.

(2)顯然，≥1.當(dāng)z=0時(shí)，若y≤1，易得方程的三組解(1，0，0)，(1，1，0)，(2，l，0)；

若y≥2，由(1)的結(jié)論易知此時(shí)方程只有一組解(3，2，0).

當(dāng)z≥l時(shí)，顯然，．

易知當(dāng)且僅當(dāng)(mod 4)時(shí)，；

當(dāng)且僅當(dāng)(mod 4)時(shí)，

若 ②

則，此時(shí)，

設(shè)對(duì)式②兩邊模4得

于是，y是奇數(shù)．設(shè)

則式②變?yōu)?/span>，

即

由，有

結(jié)合(1)的結(jié)論可知滿(mǎn)足式③只有(1，0)一對(duì)，代人式④得z=1.

此時(shí)，原方程的一組解為(4，l，1)．

若， ⑤

則，此時(shí)，

設(shè)則 ⑥

當(dāng)k=0時(shí)，y=0，z=1，原方程的一組解為(2，0，1).

當(dāng)k≥1時(shí)，對(duì)式⑥兩邊模4得

于是，y是偶數(shù)．設(shè)

此時(shí)，再對(duì)式⑥兩邊模8得

于是，z為偶數(shù)．設(shè)

于是，式⑥變?yōu)?/span>

結(jié)合(1)的結(jié)論知 于是，，矛盾.

故(，y，z)=(1，0，0)，(1，1，0)，(2，1，0)，(3，2，0)，(4，l，1)，(2，0，1).