Question

已知函數(shù)f(x)=，存在正數(shù)b，使得f(x)的定義域和值域相同.

（1）求非零實數(shù)a的值；

（2）若函數(shù)g(x)=f(x)有零點(diǎn)，求b的最小值.

Answer 1

解：(1)若a＞0，對于正數(shù)b，f(x)的定義域為D=(-∞,］∪［0,+∞)，但f(x)的值域A［0,+∞)，故D≠A，不合要求.

若a＜0，對于正數(shù)b，f(x)的定義域為D=［0,］.

由于此時［f(x)］_max=f()=，故函數(shù)的值域A=［0,］

由題意，有，由于b＞0，所以a=-4.

(2)由f(x)=0,即=(0＜x≤),

得4x⁴-bx³+b²=0.記h(x)=4x⁴-bx³+b²,則h′(x)=16x³-3bx².

令h′(x)=0,x=∈(0,］,

易知h(x)在(0,］上遞減；在［,］上遞增.

∴x=是h(x)的一個極小值點(diǎn).

又h()=b²＞0,h(0)→b²＞0,∴由題意有h()≤0,

即4()⁴-b()³+b²≤0.∴b²≥.

故b_min=.