Question

已知函數(shù)f（x）=2

3

cos2x-2sin2(x-

π

4

)+1
（Ⅰ）求滿足f（x）=

3

的所有x的值；
（Ⅱ）若x∈[0，

π

2

]，求f（x）的最值及對(duì)應(yīng)的x的值．

Answer 1

分析：（1）先化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，再解方程即可
（2）利用整體代換思想，結(jié)合正弦函數(shù)點(diǎn)的性質(zhì)，即可求解

解答：解：f(x)=2

3

cos2x-2sin2(x-

π

4

) +1
=

3

(1+cos2x)+cos2(x-

π

4

)
=

3

+

3

cos2x+cos(2x-

π

2

)
=

3

+

3

cos2x+cos(

π

2

-2x )
=

3

+

3

cos2x+sin2x
=

3

+2sin(2x+

π

3

)
（1）∵f(x)=

3

∴

3

+2sin(2x+

π

3

) =

3

∴sin(2x+

π

3

) =0
∴2x+

π

3

=kπ  (k∈Z)
∴x=

kπ

2

-

π

6

(k∈Z)
（2）∵x∈[0，

π

2

]
∴

π

3

≤2x+

π

3

≤ 

4π

3

∴-

3

2

≤sin(2x+

π

3

) ≤1
∴當(dāng)2x+

π

3

=

4π

3

，即x=

π

2

時(shí)，f（x）取得最小值

3

+2×(-

3

2

) =0
當(dāng)2x+

π

3

=

π

2

，即x=

π

12

時(shí)，f（x）取得最大值

3

+2×1=

3

+2

點(diǎn)評(píng)：本題考查正弦型函數(shù)的化簡(jiǎn)和性質(zhì)，要注意和角公式、倍角公式、降冪公式的靈活應(yīng)用，同時(shí)要注意整體代換思想的應(yīng)用．屬簡(jiǎn)單題