Question

某創(chuàng)業(yè)投資公司擬投資開發(fā)某種新能源產(chǎn)品，估計能獲得10萬元到1000萬元的投資收益．現(xiàn)準備制定一個對科研課題組的獎勵方案：獎金y（單位：萬元）隨投資收益x（單位：萬元）的增加而增加，且獎金不超過9萬元，同時獎金不超過投資收益的20%．
（Ⅰ）請分析函數(shù)y=+2是否符合公司要求的獎勵函數(shù)模型，并說明原因；
（Ⅱ）若該公司采用函數(shù)模型y=作為獎勵函數(shù)模型，試確定最小的正整數(shù)a的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設獎勵函數(shù)模型為y=f（x），根據(jù)“獎金y（單位：萬元）隨投資收益x（單位：萬元）的增加而增加，說明在定義域上是增函數(shù)，且獎金不超過9萬元，即f（x）≤9，同時獎金不超過投資收益的20%．即f（x）≤．
（Ⅱ）先將函數(shù)解析式進行化簡，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，以及使g（x）≤9對x∈[10，1000]恒成立以及使g（x）≤對x∈[10，1000]恒成立，建立不等式，求出相應的a的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）對于函數(shù)模型f（x）=+2
當x∈[10，1000]時，f（x）為增函數(shù)  …（2分）
f（x）_max=f（1000）=+2=+2＜9，所以f（x）≤9恒成立；…（4分）
但當x=10時，f（10）=+2＞，即f（x）≤不恒成立
故函數(shù)模型y=+2不符合公司要求…（6分）
（Ⅱ）對于函數(shù)模型g（x）=，即g（x）=10-
當3a+20＞0，即a＞-時遞增…（8分）
為使g（x）≤9對x∈[10，1000]恒成立，即要g（1000）≤9，3a+18≥1000，
即a≥…（10分）
為使g（x）≤對x∈[10，1000]恒成立，即要≤，即x²-48x+15a≥0恒成立，
即（x-24）²+15a-576≥0（x∈[10，1000]）恒成立，又x=24∈[10.1000]，
故只需15a-576≥0即可，
所以a≥…（12分）
綜上所述，a≥，所以滿足條件的最小的正整數(shù)a的值為328…（13分）
點評：本題主要考查了函數(shù)模型的選擇與應用，以及函數(shù)的最值得應用，同時考查了函數(shù)的單調(diào)性和恒成立問題，以及轉(zhuǎn)化的思想，屬于中檔題．