Question

在正三角形ABC中，E、F分別是AB、AC邊上的點(diǎn)，滿足.（如圖(1)）

將△AEF沿EF折起到△A₁EF的位置，使二面角A₁-EF-B成直二面角，連結(jié)A₁B、A₁C.（如圖(2))

        

(1)                                (2)

（1）求證：A₁E⊥平面BEC；

（2）求直線A₁E與平面A₁BC所成角的大小.

Answer 1

解:不妨設(shè)正三角形ABC的邊長為3，則

(1)證明:在題圖(1)中，取BE中點(diǎn)D，連結(jié)DF，

∵==,∴AE=1,AF=2,而∠A=60°.∴EF⊥AE.

∴在題圖(2)中有A₁E⊥EF,BE⊥EF.

∴∠A₁EB為二面角A₁EFB的平面角.

∵二面角A₁EFB為直二面角,

∴A₁E⊥BE.

又∵BE∩EF=E,∴A₁E⊥平面BEC.

(2)過E作EH⊥BC于H，連結(jié)A₁H，作EO⊥A₁H于O，證明EO⊥平面A₁BC，在直角三角形A₁EH中求得直線A₁E與平面A₁BP所成角的大小為.