Question

（07年遼寧卷）（12分）

如圖，在直三棱柱中，，，分別為棱的中點(diǎn)，為棱上的點(diǎn)，二面角為．

（I）證明：；

（II）求的長(zhǎng)，并求點(diǎn)到平面的距離．

Answer 1

本小題主要考查空間中的線面關(guān)系，解三角形等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力與思維能力．

解析：（I）證明：連結(jié)，

三棱柱是直三棱柱，

平面，

為在平面內(nèi)的射影．

中，，為中點(diǎn)，

，

．

，

．

（II）解法一：過(guò)點(diǎn)作的平行線，

交的延長(zhǎng)線于，連結(jié)．分別為的中點(diǎn)，

．又，．．

平面，為在平面內(nèi)的射影．

．為二面角的平面角，．

在中，，，．

作，垂足為，

，，平面，

平面平面，平面．

在中，，，

，即到平面的距離為．

，平面，

到平面的距離與到平面的距離相等，為．

解法二：過(guò)點(diǎn)作的平行線，交的延長(zhǎng)線于，連接．

分別為的中點(diǎn)，

．

又，

．

平面，

是在平面內(nèi)的射影，

．

為二面角的平面角，．

在中，，，

．

設(shè)到平面的距離為，

．

，，

，

，

，即到平面的距離為．