Question

【題目】如圖，直三棱柱中，，，，，點(diǎn)在線段上.

（Ⅰ）證明；

（Ⅱ）若是中點(diǎn)，證明平面；

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：以 為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系 ，（Ⅰ）分別求出向量的坐標(biāo)根據(jù)可得結(jié)果；（Ⅱ）求出平面 的法向量，利用向量法能證明 平面 ；（Ⅲ）求出平面 的法向量和平面 的法向量，利用空間向量法夾角余弦公式能求出二面角 的余弦值.

試題解析：（Ⅰ）證明：如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系.則，，，，.

，，

，所以.

（Ⅱ）解法一：

設(shè)平面的法向量，

由，

且，

令得，

所以，

又平面，所以平面；

解法二：證明：連接，交于，.

因?yàn)橹比�棱�?/span>，是中點(diǎn)，

所以側(cè)面為矩形，為的中位線.

所以，

因?yàn)?/span>平面，平面，

所以平面.

（Ⅲ）由（Ⅰ）知，

設(shè)，

因?yàn)辄c(diǎn)在線段上，且，即.

所以，，.

所以，.

平面的法向量為.

設(shè)平面的法向量為，

由，，得，

所以，，.

設(shè)二面角的大小為，

所以.

所以二面角的余弦值為.