Question

15．已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為4，點E、F、G、H分別在棱CC₁、DD₁、BB₁、BC上，且CE=$\frac{1}{2}$CC₁，DF=BG=$\frac{1}{4}$DD₁，BH=$\frac{1}{2}$BC，求AH與平面AFEG的夾角．

Answer 1

分析 以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出AH與平面AFEG的夾角．

解答 解：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
∵點E、F、G、H分別在棱CC₁、DD₁、BB₁、BC上，且CE=$\frac{1}{2}$CC₁，DF=BG=$\frac{1}{4}$DD₁，BH=$\frac{1}{2}$BC，
∴A（4，0，0），H（2，4，0），F(xiàn)（0，0，1），G（4，4，1），
$\overrightarrow{AH}$=（-2，4，0），$\overrightarrow{AF}$=（-4，0，1），$\overrightarrow{AG}$=（0，4，1），
設(shè)平面AFEG的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AF}=-4x+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AG}=4y+z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，4），
設(shè)AH與平面AFEG的夾角為θ，
則sinθ=$\frac{|\overrightarrow{AH}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{AH}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|-2-4|}{\sqrt{20}•\sqrt{18}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．
∴$θ=arcsin\frac{\sqrt{10}}{10}$．
∴AH與平面AFEG的夾角為arcsin$\frac{\sqrt{10}}{10}$．

點評 本題考查線面角的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．