Question

6．已知函數(shù)f（x）=ln（mx）-x+1，g（x）=（x-1）e^x-mx，m＞0．
（Ⅰ）若f（x）的最大值為0，求m的值；
（Ⅱ）求證：g（x）僅有一個極值點x₀，且$\frac{1}{2}$ln（m+1）＜x₀＜m．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出m的值即可；
（Ⅱ）求出g（x）的導數(shù)，令h（x）=xe^x-m，求出h（x）的最小值，得到h（x）僅有一個零點x₀，且在（-1，m）內(nèi)，從而證出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）由m＞0得f（x）的定義域為（0，+∞），
f′（x）=$\frac{1}{x}$-1=$\frac{1-x}{x}$，當x=1時，f′（x）=0；
當0＜x＜1時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
當x＞1時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減．
故當x=1時，f（x）取得最大值0，
則f（1）=0，即lnm=0，
故m=1．…（4分）
（Ⅱ）g′（x）=xe^x-m，令h（x）=xe^x-m，
則h′（x）=（x+1）e^x，當x=-1時，h′（x）=0；
當x＜-1時，h′（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減；
當x＞-1時，h′（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增．
故當x=-1時，h（x）取得最小值h（-1）=-e^-1-m＜0．
當x＜-1時，h（x）＜0，h（x）無零點，
注意到h（m）=me^m-m＞0，
則h（x）僅有一個零點x₀，且在（-1，m）內(nèi)．…（8分）
由（Ⅰ）知lnx≤x-1，又m＞0，則$\frac{1}{2}$ln（m+1）∈（0，$\frac{1}{2}$m）．
而h（$\frac{1}{2}$ln（m+1））=h（ln$\sqrt{m+1}$）
=$\sqrt{m+1}$ln$\sqrt{m+1}$-m＜$\sqrt{m+1}$（$\sqrt{m+1}$-1）-m
=1-$\sqrt{m+1}$＜0，則x₀＞$\frac{1}{2}$ln（m+1），
故h（x）僅有一個零點x₀，且$\frac{1}{2}$ln（m+1）＜x₀＜m．
即g（x）僅有一個極值點x₀，且$\frac{1}{2}$ln（m+1）＜x₀＜m．…（12分）

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．