Question

16．設命題p：lna＜0；命題q：函數$y=\sqrt{a{x^2}-x+a}$的定義域為R．
（1）若p且q是真命題，求實數a的取值范圍；
（2）若p或q是真命題，p且q是假命題，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 分別判斷出p，q為真時的a的范圍，再判斷出（1）p且q是真命題，（2）p或q是真命題，p且q是假命題的a的范圍即可．

解答 解：可知命題p為真命題時，實數a的取值集合為P={a|0＜a＜1}，
對于命題q：函數的定義域為R的充要條件是ax²-x+a≥0恒成立．
當a=0時，不等式為-x≥0，解得x≤0，顯然不成立；
當a≠0時，不等式恒成立的條件是
$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=1-{4a}^{2}≤0}\end{array}\right.$，解得a≥$\frac{1}{2}$．
所以命題q為真命題時，a的取值集合為Q={a|a≥$\frac{1}{2}$}．                      
（1）若p∧q是真命題，則p真q真，
∴$\left\{\begin{array}{l}0＜a＜1\\ a≥\frac{1}{2}\end{array}\right.$即a的取值范圍是$\frac{1}{2}≤a＜1$．
（2）由“p∨q是真命題，p∧q是假命題”，可知命題p，q一真一假，
當p真q假時，a的取值范圍是P∩（∁_RQ）={a|0＜a＜1}∩{a|a＜$\frac{1}{2}$}={a|0＜a＜$\frac{1}{2}$}；
當p假q真時，a的取值范圍是（∁_RP）∩Q={a|a≤0或a≥1}∩{a|a≥$\frac{1}{2}$}={a|a≥1}．
綜上，a的取值范圍是（0，$\frac{1}{2}$）∪[1，+∞）．

點評 本題考查了復合命題的判斷，考查對數函數以及二次根式的性質，是一道中檔題．