Question

甲、乙兩地相距s千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過c千米／時(shí)，已知汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v(千米／時(shí))的平方成正比，比例系數(shù)為b; 固定部分為a元.

(1)把全程運(yùn)輸成本y(元)表示為速度v(千米／時(shí))的函數(shù)，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域；

(2)為了使全程運(yùn)輸成本最小，汽車應(yīng)以多大速度行駛?

Answer 1

解：

(1)依題意汽車從甲勻速行駛到乙所用的時(shí)間為，全程運(yùn)輸成本為y＝a·＋bv²·＝s（＋bv），

所求函數(shù)及其定義域?yàn)?I>y=s（＋bv），v∈（0，c］．

 

（2）由題意，s、a、b、v均為正數(shù)，故s（＋bv）≥2s．?

等式當(dāng)且僅當(dāng)＝bv，即v＝時(shí)成立.?

若≤c，則當(dāng)v=時(shí)，全程運(yùn)輸成本y最��；?

若＞c，當(dāng)v∈（0，c］時(shí)，

有s（＋bv）＋s（＋bc）＝s［a（－）＋b（v－c）］＝（c－v）（a－bcv）．?

 

因?yàn)?I>c-v≥0，且a＞bc²，故a-bcv＞a-bc²＞0，

所以s（＋bv）≥s（＋bc），當(dāng)且僅當(dāng)v=c時(shí)等號(hào)成立，即當(dāng)v=c時(shí)，全程運(yùn)輸成本y最小.?

綜上，為使全程運(yùn)輸成本y最小，當(dāng)≤c時(shí)，行駛速度為v=；?

當(dāng)＞c時(shí)，行駛速度為v=c.

評述：此題考查函數(shù)關(guān)系、不等式性質(zhì)、最大值、最小值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)、思想和方法解決實(shí)際問題的能力.考查數(shù)學(xué)建模能力、求最值的方法.