Question

在某海濱城市附近海面有一臺(tái)風(fēng)，據(jù)監(jiān)測(cè)，當(dāng)前臺(tái)風(fēng)中心位于城市O（如圖）的東偏南方向300 km的海面P處，并以20 km/h的速度向西偏北45°方向移動(dòng)．臺(tái)風(fēng)侵襲的范圍為圓形區(qū)域，當(dāng)前半徑為60 km，并以10 km/h的速度不斷增大，問(wèn)幾小時(shí)后該城市開始受到臺(tái)風(fēng)的侵襲？

Answer 1

解法一：設(shè)在時(shí)刻t(h)臺(tái)風(fēng)中心為Q，此時(shí)臺(tái)風(fēng)侵襲的圓形區(qū)域半徑為10t＋60 (km)．

若在時(shí)刻t城市O受到臺(tái)風(fēng)的侵襲，則OQ≤10t＋60．

由余弦定理知

由于   PO＝300，PQ＝20t，

cos∠OPQ＝cos(θ－45°) 

         ＝cosθcos45°＋sinθsin45°

        

        

故 

因此   20²t²－9600t＋300²≤(10t＋60)²，

即       t²－36t＋288≤0，

解得       12≤t≤24．

答：12小時(shí)后該城市開始受到臺(tái)風(fēng)的侵襲．

解法二：如圖建立坐標(biāo)系：以O為原點(diǎn)，正東方向?yàn)?i>x軸正向，

在時(shí)刻t(h)臺(tái)風(fēng)中心的坐標(biāo)為

  

此時(shí)臺(tái)風(fēng)侵襲的區(qū)城是

          

其中r(t)＝10t+60．

若在t時(shí)刻城市O受到臺(tái)風(fēng)的侵襲，則有

           

即        ≤(10t＋60)²，

即      r²－36t＋288≤0，

解得         12≤t≤24．

答：12小時(shí)后該城市開始受到臺(tái)風(fēng)的侵襲．