Question

14．比較大�。�${2}^{\frac{1}{3}}$與${2}^{\frac{1}{2}}$，${3}^{\frac{1}{3}}$與${2}^{\frac{1}{3}}$，${3}^{\frac{1}{3}}$與${2}^{\frac{1}{2}}$，$\frac{2}{3}$與log₅3．

Answer 1

分析 由指數(shù)函數(shù)的單調性比較${2}^{\frac{1}{3}}$與${2}^{\frac{1}{2}}$的大��；由冪函數(shù)的單調性比較${3}^{\frac{1}{3}}$與${2}^{\frac{1}{3}}$的大小；化分數(shù)指數(shù)冪為根式比較${3}^{\frac{1}{3}}$與${2}^{\frac{1}{2}}$的大�。话�$\frac{2}{3}$化為對數(shù)式比較與log₅3的大�。�

解答 解：由y=2^x為定義域內的增函數(shù)，且$\frac{1}{3}＜\frac{1}{2}$，得${2}^{\frac{1}{3}}$＜${2}^{\frac{1}{2}}$；
由y=${x}^{\frac{1}{3}}$為定義域內的增函數(shù)，且3＞2，得${3}^{\frac{1}{3}}$＞${2}^{\frac{1}{3}}$；
由${3}^{\frac{1}{3}}$=$\root{3}{3}=\root{6}{9}$，${2}^{\frac{1}{2}}$=$\sqrt{2}=\root{6}{8}$，且$\root{6}{9}＞\root{6}{8}$，得${3}^{\frac{1}{3}}$＞${2}^{\frac{1}{2}}$；
∵$\frac{2}{3}$=$lo{g}_{5}{5}^{\frac{2}{3}}$=$lo{g}_{5}\root{3}{25}$，log₅3=$lo{g}_{5}\root{3}{27}$，
∴$\frac{2}{3}$＜log₅3．

點評 本題考查不等式的大小比較，考查了指數(shù)函數(shù)冪函數(shù)的運算性質，訓練了根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化，是中檔題．