Question

已知定義在[0，+∞）上的函數f（x），滿足f（x）=pf（x+q），pq≠0，則稱為“等比函數”，p稱為“公比”，q稱為“項距”．已知函數f（x）是公比為

1

3

，項距為

2

3

的“等比函數”，且x∈[0，

2

3

）時，f（x）=

-3x2+2x

，則當x∈[

2

3

n.

2

3

（n+1）]（n∈N^*）時，f（x）的最大值中的最小值為（　　）

• A、

  2

• B、

  3

• C、2

  2

• D、2

  3

Answer 1

考點：抽象函數及其應用

專題：計算題,新定義,函數的性質及應用

分析：由題意得，f（x）=

1

3

f（x+

2

3

），當x∈[

2

3

，

4

3

），即有x-

2

3

∈[0，

2

3

），即可得到f（x-

2

3

），進而得到f（x）的表達式，進而求得最大值．

解答： 解：由題意得，f（x）=

1

3

f（x+

2

3

），
x∈[0，

2

3

）時，f（x）=

-3x2+2x

，
當n=1時，x∈[

2

3

，

4

3

]，即有x-

2

3

∈[0，

2

3

]，f（x-

2

3

）=

-3(x- 2 3 )2+2(x- 2 3 )

=

-3(x-1)2+ 1 3

=

1

3

f（x），則有f（x）=3

-3(x-1)2+ 1 3

，
則當x=1時，取得最大值3×

3

3

=

3

，
當n=2，x∈[

4

3

，2]，則x-

4

3

∈[0，

2

3

]，
f（x-

4

3

）=

-3(x- 4 3 )2+ 1 3

=

-3(x- 5 3 )2+ 1 3

=

1

3

f（x-

2

3

）
=

1

9

f（x），即有f（x）=9

-3(x- 5 3 )2+ 1 3

，則當x=

5

3

時，取得最大值9

1 3

=3

3

，
同理n=3，x∈[2，

8

3

]，f（x）=27

1 3 -2(x- 7 3 )2

，當x=

7

3

時，取得最大值9

3

．
故可得到，當x∈[

2

3

n.

2

3

（n+1）]（n∈N^*）時，f（x）的最大值為3^n-1

3

．
故選B．

點評：本題考查新定義及運用，考查函數的最值，考查二次函數的最值，注意對稱軸和區(qū)間的關系，屬于中檔題．