Question

19．若函數(shù)f（x）滿足f（x²）+2x²+10x=2xf（x+1）+3，則f（1）=5；并寫出一個(gè)滿足條件的函數(shù)解析式f（x）=2x+3．

Answer 1

分析 根據(jù)條件可知x=0時(shí)得到f（0）=3，然后令x=-1，便可求出f（1）；根據(jù)f（x）滿足的等式可設(shè)f（x）為一次函數(shù)，從而設(shè)f（x）=kx+b，這樣便可表示出f（x²），f（x+1），然后帶入到f（x）滿足的等式并可以整理成（k+2）x²+10x+b=2kx²+2（k+b）x+3，多項(xiàng)式相等，便有其對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)相等，這樣即可求出k，b，從而得出一個(gè)滿足條件的函數(shù)解析式f（x）．

解答 解：x=0時(shí)，f（0）=3；x=-1時(shí)，f（1）-8=-2f（0）+3=-3；
∴f（1）=5；
設(shè)f（x）=kx+b，則f（x²）=kx²+b，f（x+1）=kx+k+b，代入原式得：
kx²+b+2x²+10x=2x（kx+k+b）+3；
整理得：（k+2）x²+10x+b=2kx²+2（k+b）x+3；
∴$\left\{\begin{array}{l}{k+2=2k}\\{10=2（k+b）}\\{b=3}\end{array}\right.$；
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=3}\end{array}\right.$；
∴f（x）=2x+3．
故答案為：5，2x+3．

點(diǎn)評(píng) 考查已知函數(shù)f（x）滿足的等式求函數(shù)f（a）的方法，待定系數(shù)求函數(shù)解析式的方法，以及多項(xiàng)式相等時(shí)對(duì)應(yīng)系數(shù)的關(guān)系．