Question

如圖，直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=1，CB=，側棱AA₁=1，側面AA₁B₁B的兩條對角線交點為D，B₁C₁的中點為M.

（Ⅰ）求證CD⊥平面BDM；

（Ⅱ）求面B₁BD與面CBD所成二面角的大小.

Answer 1

　 滿分12分.

解法一：（Ⅰ）如圖，連結CA₁、AC₁、CM，則CA₁=

∵CB=CA₁=，∴△CBA₁為等腰三角形，

又知D為其底邊A₁B的中點，

∴CD⊥A₁B. ∵A₁C₁=1，C₁B₁=，∴A₁B₁=

　 又BB₁=1，A₁B=2. ∵△A₁CB為直角三角形，D為A₁B的中點，

　 ∴CD=A₁B=1，CD=CC₁，又DM=AC₁=，DM=C₁M.

　 ∴△CDM≌△CC₁M，∠CDM=∠CC₁M=90°，即CD⊥DM.

　 因為A₁B、DM為平在BDM內(nèi)兩條相交直線，所以CD⊥平面BDM.

（Ⅱ）設F、G分別為BC、BD的中點，連結B₁G、FG、B₁F，則FG//CD，F(xiàn)G=CD.

　　 ∴FG=，F(xiàn)G⊥BD.

　 由側面矩形BB₁A₁A的對角線的交點為D知BD=B₁D=A₁B=1，

　 所以△BB₁D是邊長為1的正三角形.

　 于是B₁G⊥BD，B₁G=　 ∴∠B₁GF是所求二面角的平面角，

　 又 B₁F²=B₁B²+BF²=1+（=，

∴

即所求二面角的大小為

解法二：如圖，以C為原點建立坐標系.

（Ⅰ）B（，0，0），B₁（，1，0），A₁（0，1，1），

D（，M（，1，0），

則　 ∴CD⊥A₁B，CD⊥DM.

因為A₁B、DM為平面BDM內(nèi)兩條相交直線，所以CD⊥平面BDM.

（Ⅱ）設BD中點為G，連結B₁G，則

G（），、、），

所以所求的二面角等于