Question

如圖2-1-5,在四面體ABCD中,E、G分別為BC、AB的中點,F在CD上,H在AD上,且有DF∶FC=DH∶HA=2∶3,求證:EF、GH、BD交于一點.

圖2-1-5

Answer 1

思路分析:證明時可以首先證明GH和EF共面交于一點O,然后說明O是平面ABD和平面BCD的公共點,而平面ABD和平面BCD相交于直線BD,根據(jù)公理2,兩平面相交,有且只有一條交線.因此點O在交線上,即點O在直線BD上.從而證明了直線EF、GH、BD都過點O.在該題中還涉及證明E、F、H、G四點共面的問題,又利用了公理2的推論.

證明:∵E、G分別為BC、AB的中點,

∴GE∥AC.

又∵DF∶FC=DH∶HA=2∶3,

∴FH∥AC,從而FH∥GE.故E、F、H、G四點共面.

∵AG∶GB=1∶1,AH∶HD=3∶2,

∴AG∶GB≠AH∶HD.

∴GH不平行于BD.

同理,EF也不平行于BD.

∴GH∥EF.

∴四邊形EFHG是一個梯形,GH和EF交于一點O.

∵O在平面ABD內(nèi),又在平面BCD內(nèi),

∴O在這兩平面的交線上.而這兩個平面的交線是BD,且交線只有這一條.

∴點O在直線BD上.

∴EF、GH、BD交于一點.

  綠色通道:證明三線共點常用的方法是先說明兩條直線共面且相交于一點,然后說明這個點在兩個平面上,并且這兩個平面相交,于是得到交線也過此點,從而得到三線共點.