Question

用反證法證明：若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上是增函數(shù)，那么方程f(x)＝0在區(qū)間[a，b]上至多只有一個實根．

Answer 1

答案：
解析：

證明：假設(shè)方程f(x)＝0在區(qū)間[a，b]上至少有兩個實根，設(shè)α、β為其中的兩個實根． 　　因為α≠β，不妨設(shè)α＜β，又因為函數(shù)f(x)在[a，b]上是增函數(shù)，所以f(α)＜f(β)． 　　這與假設(shè)f(α)＝0＝f(β)矛盾， 　　所以方程f(x)＝0在區(qū)間[a，b]上至多只有一個實根． 　　思路分析：函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上是增函數(shù)，就是表明對區(qū)間[a，b]上任意x1，x2，若x1＜x2，則f(x1)＜f(x2)，所以如果反設(shè)方程f(x)＝0在區(qū)間[a，b]上至少有兩個根α，β(α＜β)，則有f(α)＝f(β)＝0這與假設(shè)矛盾．