Question

（本題滿分15分）已知函數(shù)．

（1）求函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程；

（2）若，且對(duì)任意恒成立，求的最大值；

 

Answer 1

【答案】

（1）； （2）整數(shù)的最大值是3．

【解析】

試題分析：（1）解：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013041419283513284611/SYS201304141929183046330106_DA.files/image003.png">，所以，

函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程；…………5分

（2）解：由（1）知，，所以對(duì)任意恒成立，即對(duì)任意恒成立．…………7分

令，則，……………………8分

令，則，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．………………………9分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013041419283513284611/SYS201304141929183046330106_DA.files/image018.png">，所以方程在上存在唯一實(shí)根，且滿足．

當(dāng)，即，當(dāng)，即，…13分

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

所以．…………14分

所以．故整數(shù)的最大值是3．………………………15分

考點(diǎn)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值。

點(diǎn)評(píng)：典型題，本題屬于導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中的基本問(wèn)題，像涉及恒成立問(wèn)題，往往通過(guò)研究函數(shù)的最值達(dá)到解題目的。涉及對(duì)數(shù)函數(shù)，要特別注意函數(shù)的定義域。