Question

20．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），若雙曲線上存在點P，使得csin∠PF₁F₂=asin∠PF₂F₁≠0，則該曲線的離心率e的取值范圍是（　�。�

• A． （1，$\sqrt{2}$）
• B． $（{1，\sqrt{2}}]$
• C． $（{1，\sqrt{2}+1}]$
• D． $（1，\sqrt{2}+1）$

Answer 1

分析 不防設點P（x，y）在右支曲線上，并注意到x≥a．利用正弦定理求得$\frac{sin∠P{F}_{1}{F}_{2}}{sin∠P{F}_{2}{F}_{1}}=\frac{P{F}_{2}}{P{F}_{1}}$，進而根據(jù)雙曲線定義表示出|PF₁|和|PF₂|代入，可求得e的范圍．

解答 解：不妨設P（x，y）在右支曲線上，此時x≥a，
由正弦定理得$\frac{sin∠P{F}_{1}{F}_{2}}{sin∠P{F}_{2}{F}_{1}}=\frac{P{F}_{2}}{P{F}_{1}}$，所以$\frac{P{F}_{2}}{P{F}_{1}}$=$\frac{a}{c}$，
∵雙曲線第二定義得：|PF₁|=a+ex，|PF₂|=ex-a，
∴$\frac{ex-a}{ex+a}$=$\frac{a}{c}$⇒x=$\frac{a（a+c）}{ec-ea}$＞a，
分子分母同時除以a，得：$\frac{a+c}{{e}^{2}-e}$＞a，
∴$\frac{1+e}{{e}^{2}-e}$＞1解得1＜e＜$\sqrt{2}$+1，
故答案為：D．

點評 本題主要考查了雙曲線的應用．考查了學生綜合運用所學知識解決問題能力．