Question

如圖，在四棱錐P—ABCD中，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，側(cè)棱PA＝PD=,底面ABCD為直角梯形，其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2，O為AD中點.

(Ⅰ)求證:PO⊥平面ABCD；

(Ⅱ)求異面直線PB與CD所成角的余弦值；

(Ⅲ)求點A到平面PCD的距離.

Answer 1

本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系、異面直線所成角、點到平面的距離等基本知識，考查空間想象能力，邏輯思維能力和運算能力.

解法一：

（Ⅰ）證明：在△PAD中PA＝PD，O為AD中點，所以PO⊥AD.

又側(cè)面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO平面PAD，

所以PO⊥平面ABCD.

（Ⅱ）連結(jié)BO，在直角梯形ABCD中，BC∥AD,AD=2AB=2BC，

有OD∥BC且OD＝BC，所以四邊形OBCD是平行四邊形，

所以OB∥DC.

由（Ⅰ）知PO⊥OB，∠PBO為銳角，

所以∠PBO是異面直線PB與CD所成的角.

因為AD＝2AB＝2BC＝2，在Rt△AOB中，AB＝1，AO＝1，所以OB＝，

在Rt△POA中，因為AP＝，AO＝1，所以OP＝1，

在Rt△PBO中，PB＝,

cos∠PBO=,

所以異面直線PB與CD所成的角的余弦值為.

(Ⅲ)由（Ⅱ）得CD＝OB＝，

在Rt△POC中，PC＝，

所以PC＝CD＝DP，S_△PCD=·2=.

又S_△ACD=

設(shè)點A到平面PCD的距離h，

由V_P-ACD=V_A-PCD，

得S_△ACD·OP＝S_△PCD·h，

即×1×1＝××h，

解得h＝.

解法二：

（Ⅰ）同解法一，

（Ⅱ）以O為坐標(biāo)原點，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.

則A（0，-1，0），B（1，-1，0），C（1，0，0），

D（0，1，0），P（0，0，1）.

所以＝（-1，1，0），＝（1，-1，-1），

cos〈、〉=，

所以異面直線PB與CD所成的角的余弦值為，

（Ⅲ）設(shè)平面PCD的法向量為n＝（x₀,y₀,x₀），

由（Ⅱ）知=（-1，0，1），＝（-1，1，0），

則　　      n·＝0，所以　　-x₀+ z₀=0_,

              n·＝0，　　  -x₀+ y₀=0，
即x₀=y₀=z₀,　　　

取x₀=1，得平面的一個法向量為n=(1,1,1).

又=(1,1,0).

從而點A到平面PCD的距離d＝