Question

某校在招收體育特長生時(shí)，須對(duì)報(bào)名學(xué)生進(jìn)行三個(gè)項(xiàng)目的測(cè)試．規(guī)定三項(xiàng)都合格者才能錄取．假定每項(xiàng)測(cè)試相互獨(dú)立，學(xué)生A各項(xiàng)測(cè)試合格的概率組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，且第一項(xiàng)測(cè)試不合格的概率超過，第一項(xiàng)測(cè)試不合格但第二項(xiàng)測(cè)試合格的概率為．
（Ⅰ）求學(xué)生A被錄取的概率；
（Ⅱ）求學(xué)生A測(cè)試合格的項(xiàng)數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

【答案】分析：（I）學(xué)生A被錄取，包括進(jìn)行三個(gè)項(xiàng)目的測(cè)試，規(guī)定三項(xiàng)都合格者才能錄取，假定每項(xiàng)測(cè)試相互獨(dú)立，可用相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率求概率，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)做出每一項(xiàng)合格的概率．
（II）學(xué)生A測(cè)試合格的項(xiàng)數(shù)X，由題意知X的取值為0，1，2，3，結(jié)合變量對(duì)應(yīng)的事件，根據(jù)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率做出概率，寫出分布列，做出期望．
解答：解：（I）記學(xué)生A通過這三個(gè)項(xiàng)目的測(cè)試的事件分別為B，C，D，
由題設(shè)可設(shè)P（B）=a，，．
由題意得，，
解得，或（舍去，不合題意）．
所以，，．
由于事件B，C，D相互獨(dú)立，所以學(xué)生A被錄取的概率為
P₁=．
（Ⅱ）由題設(shè)知，學(xué)生A測(cè)試合格的項(xiàng)數(shù)X的取值為0，1，2，3．則；=
=；
=
=；
．
∴X的分布列是

∴X的數(shù)學(xué)期望．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差數(shù)列，相互獨(dú)立事件、互斥事件的概率，離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查運(yùn)用概率知識(shí)分析問題和解決問題的能力．