Question

已知點(diǎn)（1，）是函數(shù)f（x）a^x （a＞0且a≠1）的圖象上一點(diǎn)，等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為f（n）-c，數(shù)列{b_n}（b_n＞0）的首項(xiàng)為c，且前n項(xiàng)和S_n滿足s_n-s_n-1=+（n≥2）．
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)c_n=b_n，求數(shù)列{c_n}的n項(xiàng)和R_n；
（3）若數(shù)列{}前n項(xiàng)和為T_n，問T_n的最小正整數(shù)n是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）由條件先求出f（x），再求出數(shù)列的前三項(xiàng)，由前三項(xiàng)成等比數(shù)列求出c的值，則通項(xiàng)可求，再由給出的等式s_n-s_n-1=+（n≥2）得到新的等差數(shù)列{}，求出其通項(xiàng)后則可求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）把（1）中求出的通項(xiàng)公式代入，運(yùn)用錯(cuò)位相減法可求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和R_n；
（3）先把數(shù)列{}列項(xiàng)相消求和然后直接代入不等式可求最小正整數(shù)n．
解答：解：（1）因?yàn)閒（x）=a^x，且f（1）=，所以a=，所以．
所以，，
a₃=[f（3）-c]-[f（2）-c]=-．
又?jǐn)?shù)列{a_n}成等比數(shù)列，所以，所以c=1，
又公比，所以，
所以=  （n≥2）
又b_n＞0，，所以，
數(shù)列{}構(gòu)成一個(gè)首相為1公差為1的等差數(shù)列，，所以
當(dāng)n≥2，，又其滿足b₁=c=1，
所以b_n=2n-1；                             
（2），
所以R_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n，
所以①
則②
①-②得：

化簡：×
所以所求；

（3）=
==．
由，得，所以滿足的最小正整數(shù)為77．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列與不等式的綜合，考查了數(shù)列求和的錯(cuò)位相減法和列項(xiàng)相消法，是高考數(shù)列部分的常見題型，屬中等以上難度問題．