Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦距為2，且過點P（1，

3

2

）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設橢圓C的左、右焦點分別為F₁、F₂，過點F₂的直線l與橢圓C交于M、N兩點，當直線l的傾斜角為45°時，求|MN|的長．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由已知條件設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

a2-1

=0，把點P（1，

3

2

）代入，能求出橢圓C的方程．
（2）由已知條件推導出直線l的方程為：y=x-1，聯(lián)立

x2 4 + y2 3 =1 y=x-1

，得：7x²-8x-8=0，利用橢圓弦長公式能求出|MN|．

解答： 解：（1）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦距為2，且過點P（1，

3

2

），
∴設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

a2-1

=0，
把點P（1，

3

2

）代入，得：

1

a2

+

9 4

a2-1

=1，整理，得4a⁴-17a²+4=0，
解得a²=4，或a²=

1

4

（舍），
∴橢圓C的方程為：

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）橢圓C：

x2

4

+

y2

3

=1的左焦點F₁（-1，0），右焦點F₂（1，0），
∵過點F₂的直線l與橢圓C交于M、N兩點，直線l的傾斜角為45°，
∴直線l的方程為：y=x-1，
聯(lián)立

x2 4 + y2 3 =1 y=x-1

，消去y，并整理，得：7x²-8x-8=0，
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x₁+x₂=

8

7

，x₁x₂=-

8

7

，
∴|MN|=

(1+1)[( 8 7 )2-4×(- 8 7 )]

=

24

7

．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查弦長的求法，是中檔題，解題時要注意待定系數(shù)法和橢圓弦長公式的靈活運用．