Question

10．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的離心率為$\sqrt{3}$，若曲線y（y-kx）=0與雙曲線C有且僅有2個交點，則實數(shù)k的取值范圍k≤-$\sqrt{2}$或k≥$\sqrt{2}$或k=0．

Answer 1

分析 利用雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的離心率為$\sqrt{3}$，可得$\frac{a}$=$\sqrt{2}$，根據(jù)曲線y（y-kx）=0與雙曲線C有且僅有2個交點，可得實數(shù)k的取值范圍．

解答 解：∵雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的離心率為$\sqrt{3}$，
∴$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$，
∴$\frac{a}$=$\sqrt{2}$，
∵曲線y（y-kx）=0與雙曲線C有且僅有2個交點，
∴k≤-$\sqrt{2}$或k≥$\sqrt{2}$或k=0．
故答案為：k≤-$\sqrt{2}$或k≥$\sqrt{2}$或k=0．

點評 本題考查雙曲線的性質(zhì)，考查實數(shù)k的取值范圍，考查學生的計算能力，比較基礎．