Question

設(shè)函數(shù)f（x）=cos²x+2msinx-2m-2，
（1）求函數(shù)的最大值；
（2）若f（x）＜0對x∈R恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用換元將三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸與區(qū)間的關(guān)系進行分類討論求出二次函數(shù)的最大值即三角函數(shù)的最大值
（2）將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為f（x）_max＜0，將（1）中求出的最大值代入解不等式求出m的范圍．

解答：解：（1）f（x）=cos²x+2msinx-2m-2
=1-sin²x+2msinx-2m-2
令sinx=t，t∈[-1，1]則
y=-t²+2mt-2m-1，t∈[-1，1]
對稱軸為t=m
①當(dāng)m≤-1時，當(dāng)t=-1時，y有最大值-1-2m-2m-1=-4m-2
②當(dāng)-1＜m＜1時，當(dāng)t=m時函數(shù)有最大值m²-2m-1
③m≥1時，當(dāng)t=1是函數(shù)有最大值-2
總之函數(shù)的最大值f(x)max=

-4m-2 m≤-1 m2-2m-1  -1＜m＜1 -2  m≥1

（2）f（x）＜0對x∈R恒成立，只需
f（x）_max＜0
∴

-4m-2＜0 m≤-1

或

m2-2m-1＜0 -1＜m＜1

或

-2＜0 m≥1

解得m＞1-

2

故m的取值范圍m＞1-

2

點評：本題考查通過換元將三角函數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的問題、求二次函數(shù)的最值關(guān)鍵弄清對稱軸與區(qū)間的關(guān)系、解決不等式恒成立問題常轉(zhuǎn)化為最值問題．