Question

2．在四邊形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，AD=5，求AC的長和$\frac{BC}{CD}$的值．

Answer 1

分析 過點C作CE∥AD交AB于點E，再作EF∥CD交AD于點F，在Rt△AEF中，可將各邊用含BC和CD的代數(shù)式表達(dá)出來，根據(jù)∠A=60°列出三角函數(shù)式代入求解．

解答 解：如圖，過點C作CE∥AD交AB于點E，再作EF∥CD交AD于點F，
設(shè)BC=a，CD=b，
在Rt△BCE中，∵AD∥CE，
∴∠CEB=∠A=60°，
可得BE=cot∠CEB×BC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，CE=$\sqrt{B{E}^{2}+B{C}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，
故AE=4-$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，
∵四邊形CDFE為矩形，
∴DF=CE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，
∴AF=5-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，
在Rt△AEF中，
∵cos∠A=$\frac{AF}{AE}$=$\frac{1}{2}$，即$\frac{5-\frac{2\sqrt{3}}{3}a}{4-\frac{\sqrt{3}}{3}a}$=$\frac{1}{2}$，
∴a=2$\sqrt{3}$，
∴AC=$\sqrt{16+12}$=2$\sqrt{7}$．
sin∠A=$\frac{4-\frac{\sqrt{3}}{3}a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴b=$\sqrt{3}$
∵BC=a=2$\sqrt{3}$，CD=b=$\sqrt{3}$，
∴$\frac{BC}{CD}$=2．

點評 本題通過作輔助線可在直角三角形內(nèi)進(jìn)行求解，綜合應(yīng)用了解直角三角形、直角三角形性質(zhì)，考查了邏輯推理能力和運算能力．