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已知空間四邊形ABCD，P、Q分別是△ABC和△BCD的重心.求證：PQ∥平面ACD.

【探究】 欲證線面平行，須證線線平行，即要證明PQ與平面ACD中的某條直線平行，根據(jù)條件，此直線為AD，如圖所示.

證明：取BC的中點E，∵P是△ABC的重心，連結AE，則AE：PE=3：1，連結DE，

∵Q為△BCD的重心，

∴DE：QE=3：1，

∴在△AED中，PQ∥AD.

又AD平面ACD，PQ平面ACD，

∴PQ∥平面ACD.

【規(guī)律總結】 (1)本例中構造直線AD與PQ平行，是充分借助于題目的條件：P、Q分別是△ABC和△BCD的重心，借助于比例的性質證明PQ∥AD，這種方法經(jīng)常使用，注意把握.

(2)欲證線面平行，只須證線線平行，判定定理給我們提供了一種證明線面平行的方法，根據(jù)問題具體情況要熟練運用.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知空間四邊形ABCD中，BC=AC，AD=BD，E是AB的中點．
求證：
（1）AB⊥平面CDE；
（2）平面CDE⊥平面ABC；
（3）若G為△ADC的重心，試在線段AE上確定一點F，使得GF∥平面CDE．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知空間四邊形ABCD中，BC=AC，AD=BD，E是AB的中點．
求證：（1）AB⊥平面CDE；
（2）平面CDE⊥平面ABC．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知空間四邊形ABCD中，BC=AC，AD=BD，E是AB的中點，求證：
（1）AB⊥平面CDE；
（2）平面CDE⊥平面ABC；
（3）若G為△ADC的重心，試在線段AE上確定一點F，使得GF∥平面CDE．

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科目：高中數(shù)學 來源：2010-2011學年河南省高三12月月考文科數(shù)學卷 題型：解答題

(本小題滿分12分)

如圖，已知空間四邊形ABCD中，BC=AC, AD=BD,E是AB的中點，

求證：

AB⊥平面CDE；

平面CDE⊥平面ABC;

若G為△ADC的重心，試在線段AB上確定一點F，使得GF∥平面CDE.

 

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知空間四邊形ABCD中，BC=AC，AD=BD，E是AB的中點．
求證：
（1）AB⊥平面CDE；
（2）平面CDE⊥平面ABC；
（3）若G為△ADC的重心，試在線段AE上確定一點F，使得GF∥平面CDE．
精英家教網(wǎng)

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