Question

4．如圖，在四梭錐A-BCDE中，EB=EA=AB=BC．，∠EBC=90°，M為AC的中點，AB⊥EM．
（1）求證：平面ABE⊥平面ABC；
（2）求二面角B-EM-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取AB中點N，連結EN，MN，推導出AB⊥BC，EB⊥BC，從而BC⊥平面ABE，由此能證明平面ABE⊥平面ABC．
（2）以N為原點，NB為x軸，NM為y軸，NE為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角B-EM-C的余弦值．

解答 證明：（1）取AB中點N，連結EN，MN，
∵EB=EA=AB=BC，M為AC的中點，
∴EN⊥AB，MN∥BC，
∵AB⊥EM，EM∩EN=E，∴AB⊥平面MEN，
∵AB⊥MN，∴AB⊥BC，
∵∠EBC=90°，∴EB⊥BC，
∵EB∩AB=B，∴BC⊥平面ABE，
∵BC?平面ABC，∴平面ABE⊥平面ABC．
解：（2）∵平面ABE⊥平面ABC，平面ABE∩平面ABC=AB，EN⊥AB，
∴EN⊥平面ABC，又MN⊥AB，
∴以N為原點，NB為x軸，NM為y軸，NE為z軸，建立空間直角坐標系，
設EB=EA=AB=BC=2，
則B（1，0，0），E（0，0，$\sqrt{3}$），M（0，1，0），C（1，2，0），
$\overrightarrow{EM}$=（0，1，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{EB}$=（1，0，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{EC}$=（1，2，-$\sqrt{3}$），
設平面BEM的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EB}=x=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EM}=y-\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取y=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（0，$\sqrt{3}$，1），
設平面CEM的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EM}=a-\sqrt{3}c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EC}=a+2b-\sqrt{3}c=0}\end{array}\right.$，取a=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}，0，1$），
設二面角B-EM-C的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{4}•\sqrt{4}}$=$\frac{1}{4}$．
∴二面角B-EM-C的余弦值為$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查面面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．