Question

已知函數(shù)f(x)滿足：f(1)＝，4f(x)f(y)＝f(x＋y)＋f(x－y)(x，y∈R)，則f(2 013)＝________.

Answer 1

－       解析　法一　當(dāng)x＝1，y＝0時(shí)，f(0)＝；當(dāng)x＝1，y＝1時(shí)，f(2)＝－；當(dāng)x＝2，y＝1時(shí)，f(3)＝－；當(dāng)x＝2，y＝2時(shí)，f(4)＝－；當(dāng)x＝3，y＝2時(shí)，f(5)＝；當(dāng)x＝3，y＝3時(shí)，f(6)＝；當(dāng)x＝4，y＝3時(shí)，f(7)＝；當(dāng)x＝4，y＝4時(shí)，f(8)＝－；….

∴f(x)是以6為周期的函數(shù)，

∴f(2 013)＝f(3＋335×6)＝f(3)＝－.

法二　∵f(1)＝，4f(x)·f(y)＝f(x＋y)＋f(x－y)，

∴構(gòu)造符合題意的函數(shù)f(x)＝cos x，

∴f(2 013)＝cos＝－.