Question

20．設(shè)過(guò)原點(diǎn)的直線1與拋物線y²=4（x-1）交于A，B兩點(diǎn)，且以圓恰好過(guò)拋物線焦點(diǎn)F，求：
（1）直線1的方程
（2）|AB|的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）設(shè)l的方程為：y=kx，聯(lián)立y²=4（x-1），得k²x²-4x+4=0，由此利用韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線的距離公式能求出直線方程．
（2）利用（1）弦長(zhǎng)公式，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）拋物線y²=4（x-1）的焦點(diǎn)F（2，0），
設(shè)l的方程為：y=kx，
聯(lián)立y²=4（x-1），得k²x²-4x+4=0，
∵直線l交拋物線于A、B兩點(diǎn)，
∴△＞0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=$\frac{4}{{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4}{{k}^{2}}$，
y₁+y₂=k（x₁+x₂）=$\frac{4}{k}$，
∴以AB為直徑的圓的圓心坐標(biāo)為M（$\frac{2}{{k}^{2}}$，$\frac{2}{k}$），
∵以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F，
∴（1+k²）•（$\frac{16}{{k}^{4}}$-$\frac{16}{{k}^{2}}$）=4[（$\frac{2}{{k}^{2}}$-2）²+（$\frac{2}{k}$）²]，
解得k²=$\frac{1}{2}$，即k=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴直線l的方程為y=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$x．
（2）由（1）可得，|AB|²=（1+k²）•（$\frac{16}{{k}^{4}}$-$\frac{16}{{k}^{2}}$）=48．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線方程的求法，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，是中檔題，