Question

四個(gè)半徑均為1的球兩兩相切,都在一個(gè)大球里,且都與大球相切,試求這個(gè)大球的體積.

Answer 1

思路解析:由四個(gè)半徑都是1的球兩兩外切,其球心構(gòu)成邊長(zhǎng)為2的正四面體.這四個(gè)球又都與大球相切,

所以這個(gè)大球與正四面體的外接球是同心球,大球半徑R等于正四面體外接球的半徑r加上小球半徑1,R=r+1.這樣問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知棱長(zhǎng)為2的正四面體,求其外接圓半徑r.

解:四個(gè)小球的球心構(gòu)成棱長(zhǎng)為2的正四面體,

將其補(bǔ)成正方體,∴正方體的對(duì)角線為其外接球的直徑2r.

∵正四面體棱長(zhǎng)為2,∴正方體棱長(zhǎng)為.

∴(2r)²=()²+()²+()².

∴

∴與四個(gè)小球都相切的大球半徑R=r+1=1+.

∴這個(gè)大球的體積V=≈46.12(立方單位).