Question

5．如圖，在△ABC中，AD⊥AB，$\overrightarrow{BC}$=$\sqrt{3}$$\overrightarrow{BD}$，|$\overrightarrow{AD}$|=1，則$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AC}$的值為（　�。�

• A． $\sqrt{3}$
• B． 3
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 運(yùn)用向量的數(shù)量積的定義，結(jié)合條件可得$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AC}$=|$\overrightarrow{AC}$|cos∠DAC，再由誘導(dǎo)公式可得$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AC}$=|$\overrightarrow{AC}$|sin∠BAC，結(jié)合三角形ABC中的正弦定理和直角三角形的銳角三角函數(shù)的定義，計(jì)算即可得到所求值

解答 解：$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AC}$=$|\overrightarrow{AD}||\overrightarrow{AC}|cos∠CAD$，
∵|$\overrightarrow{AD}$|=1，
∴$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AC}$=|$\overrightarrow{AC}$|cos∠CAD，
∵∠BAC=$\frac{π}{2}$+∠DAC，
∴cos∠CAD=sin∠BAC，
$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AC}$=|$\overrightarrow{AC}$|sin∠BAC，
在△ABC中，由正弦定理得$\frac{AC}{sinB}=\frac{BC}{sinBAC}$，變形得|AC|sin∠BAC=|BC|sinB，
所以$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AC}$=|$\overrightarrow{AC}$|sin∠BAC=|BC|sinB=|BC|•$\frac{AD}{BD}$=$\sqrt{3}$，
故選A．

點(diǎn)評 本題考查向量的數(shù)量積的定義和性質(zhì)，同時(shí)考查誘導(dǎo)公式和正弦定理的運(yùn)用，屬于中檔題