Question

有以下三個說法：
（1）在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等．
（2）如果一組數(shù)中每個數(shù)減去同一個非零常數(shù)，則這一組數(shù)的平均數(shù)改變，方差不改變．
（3）一個樣本的方差是s²=

1

20

[（x₁-3）²+（x₂-3）²+…+（x_n-3）²]，則這組數(shù)據(jù)的總和等于60．
其中正確的個數(shù)是（　�。�

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（1）利用頻率分布直方圖中，每個小長方形的面積S=長×寬=

頻數(shù)

組距

×組距=頻率，中位數(shù)左右兩邊的頻數(shù)相等，從而可判斷（1）正確；
（2）設(shè)一組數(shù)x₁、x₂、…、x_n的均值為

.

x

，則

.

x

=

x1+x2+…+xn

n

，方差s²=

1

n

[(x1-

.

x

)2+(x2-

.

x

)2+…+(xn-

.

x

)2]，可求得組中每個數(shù)減去同一個非零常數(shù)t后的均值與方差，從而可判斷（2）的正誤；
（3）依題意，可求得這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)

.

x

=3，共有20個數(shù)據(jù)，從而可得這組數(shù)據(jù)的總和，繼而可判斷（3）的正誤．

解答： 解：（1）在頻率分布直方圖中，面積是頻率，（每個小長方形的面積S=長×寬=

頻數(shù)

組距

×組距=頻率），中位數(shù)左右兩邊的頻數(shù)是相等的，中位數(shù)是最中間的那個數(shù)，所以面積是相等的，即（1）正確；
（2）設(shè)一組數(shù)x₁、x₂、…、x_n的均值為

.

x

，則

.

x

=

x1+x2+…+xn

n

，方差s²=

1

n

[(x1-

.

x

)2+(x2-

.

x

)2+…+(xn-

.

x

)2]，
這組中每個數(shù)減去同一個非零常數(shù)t，則這一組數(shù)的平均數(shù)

.

x′

=

(x1-t)+(x2-t)+…+(xn-t)

n

=

.

x

-t，
方差s′²=

1

n

[(x1-t-(

.

x

-t))2+(x2-t-(

.

x

-t))2+…+(xn-t-(

.

x

-t))2]=

1

n

[(x1-

.

x

)2+(x2-

.

x

)2+…+(xn-

.

x

)2]=s²，
即這一組數(shù)的平均數(shù)改變，方差不改變，故（2）正確；
（3）因為一個樣本的方差是s²=

1

20

[（x₁-3）²+（x₂-3）²+…+（x_n-3）²]，
所以，這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)

.

x

=3，共有20個數(shù)據(jù)，所以這組數(shù)據(jù)的總和為S=20×3=60，故（3）正確．
綜上所述，正確的個數(shù)是3個，
故選：D．

點評：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，綜合考查頻率分布直方圖中中位數(shù)的概念及應(yīng)用，考查均值與方差的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．