Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，以坐標原點O為極點，以x軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為射線交曲線C于點A,傾斜角為α的直線l過線段OA的中點B且與曲線C交于P、Q兩點.

(1)求曲線C的直角坐標方程及直線l的參數(shù)方程;

(2)當直線l傾斜角α為何值時, |BP|·|BQ|取最小值, 并求出|BP|·|BQ|最小值.

Answer 1

【答案】（1）曲線的直角坐標方程為；直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)））（2）當時,取得最小值為

【解析】

（1）由求得曲線的直角坐標方程；先求出曲線與直線的交點的坐標,即可得到的中點,進而求解即可；

（2）由（1）,將直線的參數(shù)方程代入到曲線的直角坐標方程中,由參數(shù)的幾何意義可得,進而求解即可.

（1）由題,因為,即,

因為,

所以,即,

則曲線的直角坐標方程為,

因為射線交曲線于點,所以點的極坐標為,

則點的直角坐標為,所以的中點為,

所以傾斜角為且過點的直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.

（2）將直線的參數(shù)方程（為參數(shù)）代入曲線的方程中,

整理可得,

設(shè)、對應(yīng)的參數(shù)值分別是、,則有,

則,

因為,當,即時,取得最小值為