Question

如圖⊙O的半徑OB垂直于直徑AC，M為AO上一點(diǎn)，BM的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)N的切線交CA的延長(zhǎng)線于P

（1）求證：

（2）若⊙O的半徑為，OA=OM,求MN的長(zhǎng)

 

Answer 1

（1）證明見(jiàn)解析；（2）2．

【解析】

試題分析：

解題思路：（1）利用等腰三角形與切割線定理進(jìn)行證明；（2）利用三角形的相似性進(jìn)行求解.

規(guī)律總結(jié)：直線與圓的位置關(guān)系，是平面幾何問(wèn)題的常見(jiàn)題型，常考知識(shí)由：圓內(nèi)接四邊形、切割線定理、相似三角形、全等三角形等.

試題解析：（1）連結(jié)ON，則ON⊥PN，且△OBN為等腰三角形，

則∠OBN=∠ONB，∵∠PMN=∠OMB=900-∠OBN，∠PNM=900-∠ONB

∴∠PMN=∠PNM, ∴PM=PN

由條件，根據(jù)切割線定理，有

所以

（2）OM=2，在Rt△BOM中，

延長(zhǎng)BO交⊙O于點(diǎn)D，連接DN

由條件易知△BOM∽△BND，于是

即，得BN=6

所以MN=BN-BM=6-4=2.

考點(diǎn)：1.切割線定理；2.相似三角形.