Question

已知函數f（x）=ax³+x²+bx（其中常數a，b∈R），g（x）=f（x）+f'（x）是奇函數．
（1）求f（x）的表達式；
（2）討論g（x）的單調性，并求g（x）在區(qū)間[1，2]上的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由f'（x）=3ax²+2x+b得g（x）=fax²+（3a+1）x²+（b+2）x+b，再由函數g（x）是奇函數，由g（-x）=-g（x），利用待系數法求解．
（2）由（1）知，再求導g'（x）=-x²+2，由g'（x）≥0求得增區(qū)間，由g'（x）≤0求得減區(qū)間；求最值時從極值和端點值中�。�
解答：解：（1）由題意得f'（x）=3ax²+2x+b
因此g（x）=f（x）+f'（x）=ax³+（3a+1）x²+（b+2）x+b
因為函數g（x）是奇函數，所以g（-x）=-g（x），
即對任意實數x，有a（-x）³+（3a+1）（-x）²+（b+2）（-x）+b=-[ax³+（3a+1）x²+（b+2）x+b]
從而3a+1=0，b=0，
解得，因此f（x）的解析表達式為．
（2）由（Ⅰ）知，
所以g'（x）=-x²+2，令g'（x）=0
解得
則當時，g'（x）＜0
從而g（x）在區(qū)間，上是減函數，
當，
從而g（x）在區(qū)間上是增函數，
由前面討論知，g（x）在區(qū)間[1，2]上的最大值與最小值只能在時取得，
而，
因此g（x）在區(qū)間[1，2]上的最大值為，最小值為．
點評：本題主要考查構造新函數，用導數研究函數的單調性和求函數的最值．